你聽過吊橋會自己振盪到斷掉？其原因何在？

南台科大 電機系 趙春棠

筆者小時候，中視有一個「歷史上的今天」節目，其中介紹過國外有一座橋，後來在一次暴風雨中，橋發生振盪，且越振越大，最後斷裂的事，一直印象深刻。後來閱讀書籍，又發現了同樣的敘述，也許是同一事件吧！

話說在1940年夏天， 美國 華盛頓州 的 Tacoma Narrows 有一座吊橋（suspension bridge），甫建造完成且通車。幾乎很快地就被人發現當有風吹過時，這個橋就會引起很大的垂直方向的震盪。最後在同年的11月7日，當天來了之前未有的powerful storm，結果橋就越振越大，終於斷裂！

為什麼橋會斷裂？最早許多人直覺認為是「共振」的結果，以下是利用 Matlab 軟體的模擬結果與說明。讀者宜具備「微分方程」的「工程數學」背景，或參考附錄的書籍。

A. Pure Resonance 【共振】

>> syms a x y t

>> dsolve('D2y+4*y=sin(2*t)','y(0)=0,Dy(0)=3') %外力頻率與系統自然頻率相同

ans = 13/8*sin(2*t)-1/4*cos(2*t)*t

>>ezplot(ans,[0, 24])

B. 以下書本例 之修改 【去除書中「非線性特性」】

>> syms a x y t

>> dsolve('D2y+4*y=sin(4*t)','y(0)=0,Dy(0)=3') %外力頻率與系統自然頻率不同

ans = 5/3*sin(2*t)-1/12*sin(4*t)

>>ezplot(ans,[0, 24])

以上Part B 我們修改書本中例子，將非線性特性去除，發現輸出就不會越振越大。可見只有阻尼為零，還是不足以共振的，因為外力頻率還必須與系統自然頻率相同才行。所以書本的例子是告訴我們，若橋有「非線性特性」，將可能使橋越振越大。書本中「非線性特性」，是舉例懸掛橋的纜線，當伸展（stretched）與壓縮（compressed）時的虎克常數（Hooke’s constant）各不相同，在參考書目1中，作者有詳細的求解過程。

為什麼許多學者，會否定「共振」是造成橋的最後一分為二？大概是因為：

1. 共振必須系統阻尼為零，這是很理想的情形。以彈簧為例，除非在「理想真空」（Perfect Vacuum）下。

2. 共振必須外力的頻率，與系統自然頻率相同，這種機會也很巧合。

書上說過去約有50年的時間，「共振」被責難為造成橋震盪損壞的罪魁禍首，後來才被獲得平反。Lazer與 McKenna認為橋的「非線性特性」，才是造成橋震盪斷裂的主要原因，未來或許會有新的研究結果，說明更深入的理由，我們且拭目以待 …

【參考書目】

1. Advanced Engineering Mathematics, ZILL & CULLEN, pp. 2-3, Ver. 2, 2000.

2. Matlab7 程式設計 洪維恩 著 旗標