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質量-彈簧-阻尼器系統在週期性外力作用下,就會產生持續的穩態強迫振動。由於 週期性外力可用傅立葉級數分解為許多簡諧分量,因此,我們只需討論簡諧外力這 種最簡單的情形。
圖1 單自由度系統的強迫振動 如圖1所示,一單自由度有阻尼的系統,在簡諧外力作用下,選靜平衡 位 置為座標的原點,其運動微分方程為
(1) 利用無阻尼自然頻率及阻尼比的定義並令,方程(1)可寫成如下的標準形 式: (2) 這是一個二階非齊次常微分方程,它的解由齊次方程的解和非齊次方程的特解疊加 而成。齊次方程的解,為阻尼自由振動的位移,對低阻尼情形,它可表示成 (3) 其中和是積分常數,由初始條件決定。 現在討論特解的求法。設特解為 (4) 其中表示強迫振動的位移落後於外加激振力的相位角,它的物理意義解釋如下: 將(4)式改寫成 (5)
方程(5)表示位移的響應落後激振力的時間為。 將方程(4)代入方程(1),可得 (6)
再將上式右端改寫成 (7)
於是 (6)式可整理成
對於任意時刻,上式都應成立。由此,得 (8) (9) 聯立求解上兩式,得 (10) (11)
於是振動微分方程的解為 (12) 上式右邊第一項稱為暫態響應(Transient response);第二項稱為穩態響應(Steady-state response)。由於阻尼的存在,暫態響應應隨時間的增加很快的消失了,剩下的是穩態響 應的強迫運動,如圖2所示。
圖2 簡諧強迫振動的時域響應圖 |
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