質量-彈簧-阻尼器系統在週期性外力作用下，就會產生持續的穩態強迫振動。由於

週期性外力可用傅立葉級數分解為許多簡諧分量，因此，我們只需討論簡諧外力這

種最簡單的情形。

圖1 單自由度系統的強迫振動

如圖1所示，一單自由度有阻尼的系統，在簡諧外力作用下，選靜平衡 位

置為座標的原點，其運動微分方程為

                                                        (1)

利用無阻尼自然頻率及阻尼比的定義並令，方程(1)可寫成如下的標準形

式：

                                                    (2)

這是一個二階非齊次常微分方程，它的解由齊次方程的解和非齊次方程的特解疊加

而成。齊次方程的解，為阻尼自由振動的位移，對低阻尼情形，它可表示成

                                                        (3)

其中和是積分常數，由初始條件決定。

    現在討論特解的求法。設特解為

                                                               (4)

其中表示強迫振動的位移落後於外加激振力的相位角，它的物理意義解釋如下：

    將(4)式改寫成

                                     (5)

方程(5)表示位移的響應落後激振力的時間為。

    將方程(4)代入方程(1)，可得

                                 (6)

再將上式右端改寫成

                                (7)

於是 (6)式可整理成

對於任意時刻，上式都應成立。由此，得

                                    (8)

                                                            (9)

聯立求解上兩式，得

                                             (10)

                                                                   (11)

於是振動微分方程的解為

                        (12)

    上式右邊第一項稱為暫態響應(Transient response)；第二項稱為穩態響應(Steady-state

response)。由於阻尼的存在，暫態響應應隨時間的增加很快的消失了，剩下的是穩態響

應的強迫運動，如圖2所示。

圖2 簡諧強迫振動的時域響應圖